算法 - 高斯加权移动平均滤波(GWMA)

高斯加权移动平均滤波(Gaussian weighted moving average)是将高斯函数与滑动窗口平均结合的一种滤波技术。它的目的是通过平滑数据，减少噪声，从而得到更加平稳的信号。

基本概念

高斯滤波(Gaussian Filtering)是一种对数据进行平滑的方法，它的目的是去除数据中的噪声或快速变化，使信号更加平滑和连续。它基于高斯函数（数学上的钟形曲线）来分配权重，使得距离中心越远的值影响越小。
滑动窗口平均(Moving Average)是一种通过对一段时间内的数据计算平均值来平滑数据的技术。在滑动窗口平均中，我们使用一个大小固定的窗口（即一段连续的数值），并且每次计算平均值时，这个窗口会按顺序“滑动”到下一个数据点。

高斯函数 (Gaussian Function)

高斯函数定义了滤波器的权重分布，其数学公式为：

G(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\tfrac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}

其中：

$x$ ：与中心点的距离（例如第几个数据点）。
$\sigma$ $σ$ （标准差）：决定曲线的宽度。
- $\sigma$ 大：滤波器分布更宽，平滑程度高（去除更多噪声）。
- $\sigma$ 小：滤波器集中在中心，平滑程度低（保留更多细节）。

高斯核 (Gaussian Kernel)

高斯核是根据高斯函数生成的一组数字，这些数字用来加权你的数据。例如，一个5个点的高斯核（标准差为1）：

[0.061, 0.242, 0.383, 0.242, 0.061]

中间的值最大，离中心越远权重越小。

卷积 (Convolution)

卷积是高斯滤波的核心操作，高斯核会像一个窗口一样滑过整个数据，每次计算加权平均值，生成新的平滑数据

窗口大小

滑动窗口中包含的连续数据点的数量。比如，如果窗口大小是 3，意味着每次平均的是三个相邻的数据点。

整体思路

假定我们现在有一个输入信号（如温度数据）：

X = [x_1, x_2, x_3, x_4, ...]

我们要对这些数据进行高斯加权移动平均滤波。具体步骤如下：

构建高斯权重

我们选择一个窗口大小，比如 $N$ ，然后构建一个高斯权重数组。假设我们选择窗口大小为 5，表示我们要处理每 5 个连续的数据点。然后，计算每个位置的权重。

例如，使用标准差 $\sigma = 1$ 来生成一个窗口大小为 5 的高斯权重数组：

Weights = [0.054, 0.242, 0.398, 0.242, 0.054]

这个数组是基于高斯函数计算出来的，表示距离中心点越近，权重越大。

应用高斯加权移动平均

接下来，我们将这些权重应用到原始数据上，计算加权平均。对于输入信号的每一组 5 个数据，我们按照以下公式计算加权平均：

y(t) = \dfrac{1}{\sum W}\sum\limits^{2}_{i=-2}x(t+i)W(i)

其中：

$y(t)$ 是时间点 $t$ 上的滤波结果。
$x(t+i)$ 是信号 $X$ 在时间 $t$ 位置周围的值。
$W(i)$ 是高斯权重。

例如，假设原始信号为：

X = [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]

对第一个窗口 $[10, 11, 12, 13, 14]$ 应用高斯加权平均：

y_1 = \dfrac{1}{0.054+0.242+0.398+0.242+0.054} \times (10 \times 0.054 + 11 \times 0.242 + 12 \times 0.398 + 13 \times 0.242 + 14 \times 0.054 )

这样得到一个新的平滑值，以此类推，直到对整个信号应用滤波。

更新信号

每次应用完滤波，得到的新信号就是去噪之后的平滑结果。

C 语言代码示例

/**
******************************************************************************
* @file            : GWMA.c
* @brief           : Gaussian weighted moving average algorithm, 
*                    this is a modified code, which is used for filtering 
*                    temperature data after collecting from sensors, window
*                    size is 5 and only calculate the center data of sliding
*                    window array, and the data to the left of the center
*                    data is the mirror fill value.
* @author          : Charles
* @date            : 2024-11-20
******************************************************************************
* @attention
*
* @copyright 2024 by Charles/https://www.charlesyu1997.com
*
******************************************************************************
*/

#include "GWMA.h"
#include "main.h"

/**
* @name       initGaussianKernelForGWMA
* @brief      Initialize the Gaussian kernel data array.
* @param      kernel[] Kernel data array.
* @param      size Size of kernel data array.
* @param      sigma Standard deviation of Gaussian.
* @return     NONE
*
*/
void initGaussianKernelForGWMA(float kernel[], int size, float sigma)
{
	float sum = 0.0;
    int center = size / 2;
	int i_gwma;
    for ( i_gwma = 0; i_gwma < size; i_gwma++) {
        int x = i_gwma - center;
        kernel[i_gwma] = exp(-(x * x) / (2 * sigma * sigma));
        sum += kernel[i_gwma];
    }
    // Normalization
    for (int i_gwma = 0; i_gwma < size; i_gwma++) {
        kernel[i_gwma] /= sum;
    }
}
/**
* @name       updateSlidingWindowForGWMA
* @brief      Update the sliding window data array and remove the oldest data.
* @param      window[] Sliding window data array.
* @param      size Size of sliding window data array.
* @param      newValue A new value which will be inserted to the end of sliding window.
* @return     NONE
*
*/
void updateSlidingWindowForGWMA(float window[], int size, float newValue)
{
	int i_gwma;
    for ( i_gwma = 1; i_gwma < ((size+1) / 2) ; i_gwma++) {
        window[i_gwma - 1] = window[i_gwma];
    }
    // Mirror Padding
    for (i_gwma = (size / 2) ; i_gwma < size; i_gwma++ ) {
        window[i_gwma] = newValue; // Insert the new value.
    }
}
/**
* @name       calculateConvolutionForGWMA
* @brief      Calculate convolution and get the result of GWMA.
* @param      window[] Sliding window data array.
* @param      size Size of sliding window data array.
* @param      newValue A new value which will be inserted to the end of sliding window.
* @return     NONE
*
*/
float calculateConvolutionForGWMA(float window[], float kernel[], int size)
{
	float result = 0.0;
    int i_gwma = 0;
    for (i_gwma = 0; i_gwma < size; i_gwma++) {
        result += window[i_gwma] * kernel[i_gwma];
    }
    return result;
}

/**
******************************************************************************
* @file            : GWMA.h
* @brief           : Gaussian weighted moving average algorithm.
* @author          : Charles
* @date            : 2024-11-20
******************************************************************************
* @attention
*
* @copyright 2024 by Charles/https://www.charlesyu1997.com
*
******************************************************************************
*/

#ifndef __GWMA_H__
#define __GWMA_H__

#define GWMA_WINDOW_SIZE 		5
#define GWMA_KERNEL_SIZE 		GWMA_WINDOW_SIZE

void initGaussianKernelForGWMA(float kernel[], int size, float sigma);
void updateSlidingWindowForGWMA(float window[], int size, float newValue);
float calculateConvolutionForGWMA(float window[], float kernel[], int size);

#endif

优点

平滑效果好：相比简单的平均值滤波，高斯加权滤波更加精确，因为它考虑了数据的相对重要性。
去噪效果明显：它特别适用于平滑带有高频噪声的信号。
保留边缘信息：由于高斯函数的特点，它能更好地保留信号的边缘信息，避免过度平滑。

缺点

计算量大：尤其在数据量较大时，每次计算都需要进行加权操作，可能会导致计算开销较大。
窗口大小的选择问题：窗口大小 $N$ 和标准差 $\sigma$ 的选择会影响滤波效果。如果选择不当，可能导致信号丢失或者噪声去除不充分。

简单总结

高斯加权移动平均滤波 是一种高效的信号去噪方法，它通过为数据赋予不同的权重，平滑信号并减少噪声。高斯函数 的特点使得距离中心点越远的值对最终结果的影响越小，从而保持信号的真实性。通过构建合适的 加权窗口 和 标准差，你可以控制滤波的强度和精度。

为什么使用高斯加权？

我们常常想通过滤波来平滑数据，减少噪声，但简单的均值滤波可能会忽略数据的空间结构，导致信息丢失。而高斯加权滤波通过给数据赋予不同的权重，使得远离中心点的值对最终结果的影响较小，从而更加精确地平滑信号，保留有效信息。

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