算法 - 比例积分微分控制(PID)

基本概念

PID 控制器有三个核心部分：比例(Proportional)、积分(Integral)和微分(Derivative)。这三部分的输出分别是对当前误差、误差的累积和误差变化速率的响应。其最终输出是这三部分输出的加权和。

公式解析

PID 控制器的控制量（或输出）可以表示为：

$$u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \int e(t)dt + K_d \cdot \frac{d}{dt} e(t)$$

• $u(t)$ : 控制器的输出信号（功率、电压、电流、PWM 脉宽等）。
• $e(t) = setpoint - measured$ : 系统误差（目标值减去实际测量值）
• $K_p$ : 比例增益(Proportional Gain)
• $K_i$ : 积分增益(Integral Gain)
• $K_d$ : 微分增益(Derivative Gain)

公式右侧三部分分别表示： 比例部分、 积分部分、 微分部分。

比例部分

比例部分与当前误差成比例地调整控制量，目的是快速响应误差变化。但如果仅有比例部分，系统可能无法消除稳态误差，尤其是存在持久负载变化或扰动时。比例增益 $K_p$ 决定了相应地强度。 如果误差越大，比例部分产生的控制量越大。 $K_p$ 过大时，系统会发生过度反应，导致过冲(oscillation) 或不稳定； $K_p$ 过小时， 响应速度会变慢，到达设定值地时间变长。

积分部分

积分部分与误差的积累量成比例，通过积累误差来消除稳态误差。即使是非常小的误差，积分部分会随着时间的推移继续积累，直到误差被完全消除。积分增益 $K_i$ 控制着累计误差对输出的影响。然而，积分部分也可能导致过调节或系统震荡，特别是如果 $K_i$ 设置过高时， 此时会使得系统在达到目标时产生“反弹”现象。

微分部分

微分部分与误差变化率（即误差的导数）成比例，目的是对误差变化的“预判”进行控制，抑制过冲，减少系统的震荡。微分增益 $K_d$ 控制着系统对误差变化的反应强度。微分部分可以帮助系统“平滑”其反应，尤其是在系统快速变化时。然而，过高的微分增益也可能导致系统对噪声过于敏感。

离散化

在实际应用中，许多控制系统都使用离散控制器（数字控制器）。这意味着计算每个时刻的控制输出时，系统的状态是通过定时采样得到的。因此，PID控制算法需要进行离散化，以适应离散时间系统。离散化后的PID公式通常是：

$$u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \sum\limits^{t}_{i=0} \Delta t + K_d \cdot \frac{e(t) - e(t - 1)}{\Delta t}$$

• $\Delta t$ 为采样时间间隔。

这种离散化公式将积分和微分操作转换为离散求和和差分操作，使得 PID 控制器可以在每个采样周期内计算控制量。

调参

PID 控制器的效果很大程度上取决于三个增益 $K_p$ 、 $K_i$ 、 $K_d$ 的选择，适当的调节这些参数可以实现系统的快速相应、稳定性和准确性。

调参方法

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优缺点

• 优点：

  • 简单易用： PID 控制器的原理简单，易于理解和实现。它不需要系统的精确数学模型，因此在许多实际应用中都能取得很好的效果。
  • 广泛应用： PID 控制器适用于大多数线性控制系统，尤其是在温度、速度、压力等常见控制任务中。
  • 稳定性和准确性： 合理调节增益可以实现系统的快速响应，消除稳态误差，并保持较高的稳定性。

• 缺点：

  • 需要调参： PID 控制器的性能高度依赖于参数的选择，不同的应用场景和工况可能需要不同的参数。
  • 对噪声敏感： 微分部分可能对系统中的噪声过于敏感，导致系统不稳定。
  • *不能应对大范围变化： *对于强非线性系统或复杂动态系统，传统的 PID 控制器可能无法提供理想的控制效果。

改进及优化

为了克服传统PID控制的一些缺点，有许多改进和变种出现，如：

• 自适应PID： 动态调整 PID 增益，适应不同的工况变化。
• 模糊PID： 结合模糊逻辑控制的 PID 算法，根据系统状态调整PID参数。
• 神经网络PID： 使用神经网络对 PID 参数进行优化调整。